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同じ誕生日の人がいる確率
何人か集まったときに、その中に同じ誕生日の人がいる確率です。
直接「(A)同じ誕生日の人がいる確率」を計算するよりも、「(B)どの人も誕生日が別の日である確率」を求めるほうが楽ですので、(B)を計算します。
(A) = 1 - (B) となります。
■ 2人の場合
(B)は、2人目の誕生日が1人目と異なる
364/365
(A)は、
1 - (364/365)
■ 3人の場合
(B)は、2人目の誕生日が1人目と異なる、さらに3人目は1人目2人目と異なる
364/365 * 363/365
(A)は、
1 - (364/365 * 363/365)
■ 4人の場合
(B)は、2人目の誕生日が1人目と異なる、さらに3人目は1人目2人目と異なる、さらに4人目は1人目2人目3人目と異なる
364/365 * 363/365 * 362/365
(A)は、
1 - (364/365 * 363/365 * 362/365)
という計算になります。
実際に計算してみましょう。
人の中に同じ誕生日の人が
※シミュレーション結果をここに表示します。
計算結果を不思議に感じる理由
23人以上で、「同じ誕生日の人がいる確率」が50％を超えます。この計算結果ですが、「こんなに確率高いの？」と不思議に感じる方も多いと思われます。
理由としては、以下の説が有力です。それは、
- 「自分と同じ誕生日の人がいる確率」と「同じ誕生日の人がいる確率」を混同する、あるいは「自分と同じ誕生日の人がいる確率」から「同じ誕生日の人がいる確率」を類推して確率を見積もる
というものです。
「自分と同じ誕生日の人がいる確率」は、
1- (364/365 * 364/365 * 364/365 ...)
と、人数が増えても364/365です。(自分の誕生日だけなので。)
一方、「同じ誕生日の人がいる確率」は、
1- (364/365 * 363/365 * 362/365 ...)
と、人数が増えるにつれ、かける値は364/365から小さくなっていきます。このため「同じ誕生日の人がいる確率」は人数が増えると急速に変化します。
一見すると同じように思えるかもしれませんが、実はかなり異なる確率なのです。
※閏年の2月29日は考慮していません。また全ての日付の出生率が同じという仮定をしています。1月1日～12月31日まで、すべて365分の1で均等に分布している、という仮定です。
この他にも、直感とずれやすい確率の例としては、ガチャ確率シミュレーションなどがあります。
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