最初の値に、一定の比率を順にかけて行った数字の列を、等比数列と呼びます。例えば、

1, 2, 4, 8, 16, ...
1, 0.8, 0.64, 0.512, ...

等です。これらの値の合計を計算することができます。

  • 比率が1以上の場合は、どんどん値が大きくなるので、無限大になります。
  • 比率が1未満の場合は、一定の値に近づきます。
  • 比率が0の場合は、一定の値です。

(ここでは比が0以上の場合を考えています。)

計算式

導入過程は省きますが、

初項 ÷ (1 - 比率)

になります。

合計は です。

計算する意味

このような計算には、どのような意味があるのでしょうか。ひとつ例を挙げてみます。

経済の話です。政府が公共事業(道路建設など)に1億円投資したとします。そうすると、公共事業を受けた業者は、売上金が入りますね。そのお金は、何割かが投資にあてられます。例えば、作業用機械の購入などです。作業用機械を製作している会社に売上金が入り、またその会社も何割かを投資します。そうすると、仮に売上のうち投資にまわす割合が30%だった場合、

1億円 -> 3,000万円 -> 900万円 -> ...

というふうに、お金が回っていきます。経済学では、乗数効果と呼びます。

では、それらの合計を出したい場合は、どうすればよういでしょうか。このときに、さきほどの等比数列の和が役立ちますね。

※売上のうち投資にまわす割合は、実際には一定ではありません。あくまでモデル化した計算です。

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