相加平均と相乗平均について、高校数学で学んだ記憶のある方も多いことでしょう。大学入試で出題されることもあります。

相加平均は、

(a + b) / 2

で計算できます。


一方の相乗平均は、(a > 0, b > 0として)

√a * √b

で計算できます。相乗平均は幾何平均と呼ぶこともあります。(辺の長さがa,bの長方形があるとき、同じ面積の正方形の辺の長さを算出するのに相当する)

相加平均はです。
相乗平均はです。

一般に、相加平均 ≥ 相乗平均が成り立ちます。平均を取る対象の値は正の値とします。

(a + b)/2 - √a√b は、√a = A, √b = Bと置き換えると、

(A²+B²)/2 - AB
=½(A²+B²-2AB)
=½(A-B)²≥0

となります。

相加平均 = 相乗平均となるのは、A=Bすなわちa=bのときです。

相乗平均を使うケース

相乗平均を使うケースとしては、

  • 資産運用の年間利回りの平均
  • 物価上昇率の平均

などがあります。

極端な例ですが、物価が1年で2倍、その次の1年は変化無し(1倍)だっとすると、2年間の物価上昇率は、相加平均の1.5よりも、相乗平均の√2のほうが適切です。1年目√2倍、2年目も√2倍、となった場合、2年後に物価が2倍になるからです。

※相加平均、相乗平均は、平均を取る対象の個数が3以上でも計算できますが、今回は2個の場合で計算しています。