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七番勝負で勝つ確率
将棋の名人戦や竜王戦は、七番勝負という形式で戦います。名人(竜王)と挑戦者が、複数回対局をします。勝った方に1勝とし、先に4勝した方が勝者です。プロ野球の日本シリーズや、メジャーリーグのワールドシリーズもこの形式で試合が行われます。
引き分けは試合数に数えないものとすると、最大で7試合まで(4勝3敗で決着するとき)行われます。
七番勝負のときに、勝つ確率を計算してみます。単純化のため、勝つ確率は毎回一定とします。勝つ確率をpとすると、
4勝0敗 : p4
4勝1敗 : 4C3 *p3 * (1-p)1 * p (最初の4試合で3勝1敗となり、5試合めに勝つ)
4勝2敗 : 5C3 *p3 * (1-p)2 * p (最初の5試合で3勝2敗となり、6試合めに勝つ)
4勝3敗 : 6C3 *p3 * (1-p)3 * p (最初の6試合で3勝3敗となり、7試合めに勝つ)
となります。4C3 は組み合わせの数を示します。(高校数学で学習します。)
七番勝負(先に4勝すると勝者)
| 4勝0敗 | |
| 4勝1敗 | |
| 4勝2敗 | |
| 4勝3敗 | |
| 勝つ確率合計 | |
| 0勝4敗 | |
| 1勝4敗 | |
| 2勝4敗 | |
| 3勝4敗 | |
| 負ける確率合計 |
シミュレーション結果: 七番勝負: 回のうち、勝利: 回
(総試行 回、勝利 回、勝率 %)
| 数 | 割合 | |
| 4勝0敗 | ||
| 4勝1敗 | ||
| 4勝2敗 | ||
| 4勝3敗 | ||
| 勝ち合計 | ||
|---|---|---|
| 0勝4敗 | ||
| 1勝4敗 | ||
| 2勝4敗 | ||
| 3勝4敗 | ||
| 負け合計 |
※シミュレーション結果をここに表示します。
↑O:勝ち、x:負け
勝つ確率が高い(0.5より大きい)と、七番勝負で勝つ確率はそれ以上に高くなります。1試合だけ行うと番狂わせが生じやすく、試合数が多いと、強いほうが勝つことが多い(途中で1つ2つ負けることはあっても、全体の勝負では勝つことが多い)、というわけですね。
同様に、五番勝負の場合も計算してみます。
五番勝負(先に3勝すると勝者)
| 3勝0敗 | |
| 3勝1敗 | |
| 3勝2敗 | |
| 勝つ確率合計 | |
| 0勝3敗 | |
| 1勝3敗 | |
| 2勝3敗 | |
| 負ける確率合計 |
今回は、初戦を戦う前の場合でした。初戦勝利の場合の勝つ確率(途中からの勝率)はこちらをご覧ください。
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